Question

（本小题满分12分）
如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，
∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，． …………2分
设平面SBC的法向量为，则，，
∵，，∴，∴可取…4分
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．      ……………5分
∴，
∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分
（Ⅱ）∵，∴，，
又∵，
∴DM⊥SB，        
∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．    ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，
∵，
∴在上的射影为，
∴点D到平面SBC的距离为．………12分
（特别说明：用传统解法每问应同步给分）

略