题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线交y轴正半轴于点B，且有
，当点A的纵坐标为6时，
为正三角形.
（1）求C的方程；
（2）若直线
，且
和C有且只有一个公共点D，证明：直线AD过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
【解析】
（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的
值；
（2）设出点
的坐标，求出直线
的方程，利用直线
，且
和
有且只有一个公共点
，求出点的坐标，写出直线的方程，将方程化为点斜式，可求出定点．
（1）
可得其焦点为：
，
设
，则FB的中点为
，
，由抛物线的定义知
，
解得
或
（舍去）
由
，解得
，
C的方程为：.
（2）由（1）知
.设
，
，
，
，
，
则
，
由得
，故
，
可得直线l的斜率
.
设
，
由题知为C在D处的切线，D点坐标满足：
，
，
由导数的几何意义知的斜率
，
故
，
，
（此处也可设的方程，与抛物线方程联立方程组，然后由
得到D点坐标）.
，
故直线AD的方程为：
.
由
，得
，
直线AD过定点.
【题目】某工厂的
,
,
三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:
车间 |
|
|
|
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.
【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
，
，求
的值.
【题目】随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.
（1）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量
（百斤）与使用堆沤肥料
（千克）之间对应数据如下表
使用堆沤肥料 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
产量的增加量 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量是多少百斤?
（2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注:
，且
)；
前8小时内的销售量（单位:份） | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
频数 | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求的取值范围.
附：回归直线方程为
，其中
.
【题目】某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将分数分成6组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，第6组
，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表．
分数区间 | 频数 |
| 7 |
| 18 |
| 21 |
| 24 |
| 70 |
| 60 |
定义：学生对食堂的“满意度指数”
分数 |
|
|
|
|
|
|
满意度指数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）
