Question

10．下列四个结论，其中正确的有（　　）个．
①已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，则a₁+a₂+…+a₇=-3；
②过原点作曲线y=e^x的切线，则切线方程为ex-y=0（其中e为自然对数的底数）；
③已知随机变量X～N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6862，则P（X＞4）=0.1587
④已知n为正偶数，用数学归纳法证明等式1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$=2（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{2n}$）时，若假设n=k（k≥2）时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明n=k+1时等式成立，即可证明等式对一切正偶数n都成立．
⑤在回归分析中，常用R²来刻画回归效果，在线性回归模型中，R²表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R²越接近1，表示回归的效果越好．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①先求得 a₀=${C}_{7}^{0}$=1，把x=1代入已知的等式求得a₁+a₂+…+a₇ 的值．
②根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标，根据设出的切点坐标和原点求出切线的斜率，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，进而得到切点坐标，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
根据正态分布的对称性判断③正确；
④根据数学归纳法的步骤应当先证明n=2时成立，故命题不正确；
⑤根据线性相关指数的定义和性质分别进行判断即可．

解答 解：①利用已知可求：a₀=${C}_{7}^{0}$=1，把x=1代入已知的等式可得-1=a₀+a₁+a₂+…+a₇ ，从而求得a₁+a₂+…+a₇=-2，故命题错误；
②设切点坐标为（a，e^a），
又切线过（0，0），得到切线的斜率k=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
又f′（x）=e^x，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=e^a，
则e^a=$\frac{{e}^{a}}{a}$，由于e^a＞0，则得到a=1，
即切点坐标为（1，e），
所以切线方程为：y=ex，即切线方程为ex-y=0（其中e为自然对数的底数），故命题正确；
③根据正态分布的对称性P（ξ＞4）=$\frac{1}{2}$×（1-0.6826）=0.1587，故③正确；
④应当先证明n取第一个值n=2时命题成立，故错误；
⑤在回归分析中，常用R²来刻画回归效果，在线性回归模型中，R²表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R²越大，意味着模型拟合的效果越好，故命题错误．
综上知，仅有两个正确，
故选A

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，二项式定理的应用，数学归纳法的应用，线性回归模型等知识的应用，综合性强，属于难题．