Question

【题目】已知直线及圆．

（1）求直线所过定点；

（2）求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）直线l恒过点（2）最短弦长为，直线l的方程为

【解析】

（1）根据题意，将直线的方程变形可得，将该方程看成是关于的一次方程，令的系数和常数部分为0，可得的值，即可得答案；
（2）设过定点为，根据题意，当时，直线被圆所截得的弦长最短，由直线垂直的斜率关系可得直线的斜率，结合定点的坐标求出直线的方程，由弦长公式求出最短弦的长度即可得答案；

（1）证明：直线l化为，

因为直线恒过定点，

，

解得，

则直线所过定点为；

（2）设直线与圆的交点为A、B，由（1）知l过定点在圆内，且与过此点的圆的半径垂直时，被圆所戴的弦长最短，

此时圆心到直线的距离为，

所以，即最短弦长为，

又，

则直线的斜率，

则直线的方程为，即．