题目内容
【题目】设函数,其中x>0,k为常数,e为自然对数的底数.
(1)当k≤0时,求的单调区间;
(2)若函数在区间(1,3)上存在两个极值点,求实数k的取值范围;
(3)证明:对任意给定的实数k,存在(
),使得
在区间(
,
)上单调递增.
【答案】(1)单调递减区间为(0,3),单调递增区间为;(2)
;(3)证明见解析。
【解析】
(1)f′(x)=.分别令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范围即可;
(2)函数f(x)在(1,3)内存在两个极值点,有两个实数根.化为
,
,因此
在
内存在两个实数根.利用导数研究其单调性极值即可;
(3)令,得
,
在
上单调递增,进而分析可得结果.
,
(1)当时,
对任意的
都成立.
所以,当时,
;当
时,
,
所以,的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为
.
(2)由函数
在区间(1,3)上存在两个极值点,得
在区间(1,3)上至少有两个解,即
在区间(1,3)至少有两个解.
令,
,则
所以,当时,
;当
,
,所以
在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,3)上单调递增.又
,
,
所以,,且
,即
.
此时,存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得
且当x∈(1,x1)时,,当x∈(x1,x2)时,
,当x∈(x2,,3),
,满足条件.
所以k的取值范围为
(3)令,得
,当
时,
,当且仅当
时等号成立,
所以,在
上单调递增,
所以,当时,
,及
,
当时,
.
设为3和
中较大的数,则当
时,
,
所以对任意给定的实数,存在
,式得
在区间
上单调递增.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】进入12月以来,某地区为了防止出现重污染天气,坚持保民生、保蓝天,严格落实机动车限行等一系列“管控令”,该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的2×2列联表:
| 赞同限行 | 不赞同限行 | 合计 |
没有私家车 | 90 | 20 | 110 |
有私家车 | 70 | 40 | 110 |
合计 | 160 | 60 | 220 |
(1)根据上面的列联表判断,能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关;
(2)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用,从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出2名进行电话回访,求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率.
参考公式:K2=
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3..841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |