题目内容
【题目】设,
是函数
的图象上任意两点,若
为
,
的中点,且
的横坐标为
.
(1)求;
(2)若,
,求
;
(3)已知数列的通项公式
(
,
),数列
的前
项和为
,若不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)2;(2);(3)
.
【解析】
试题(1)根据中点坐标公式可知,所以
,
,整理即可求得
的值;(2)由第(1)问可知当
时,
为定值,观察
可知共
项,根据倒序相加法可知
,
,
,
和均为定值2,共
个2,所以和为
,即得到
的值;(3)由
可知,
为等差数列乘等比数列,所以求数列
的前n项和
采用错位相减法,然后代入
整理得到
恒成立,所以只需
,因此根据数列的单调性求出
的最大值即可.本题以函数为背景,旨在考查数列的相关知识,考查倒序相加求和,错位相减求和,同时还考查不等式恒成立问题.综合性较强,考查学生对知识总体的把握能力.
试题解析:(1)由已知点M为线段AB的中点, 则:
∴
(2)由(1),当时,有
故
∴
(3)由已知:
不等式即
也即,即
恒成立
故只需
令
当时,
当时,
,当
时,
故;
故
∴,解得:
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