题目内容
【题目】设数列的前n项和为
,对任意的正整数n,都有
成立,记
.
(1)求数列与数列
的通项公式;
(2)求证:①对
恒成立.②
对
恒成立,其中
为数列
的前n项和.
(3)记,
为
的前n项和,求证:对任意正整数n,都有
.
【答案】(1),
;(2)①证明见解析;②证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)利用递推关系式证得数列
是等比数列,由此求得数列
的通项公式,进而求得数列
的通项公式.
(2)①利用(1)中求得的数列的通项公式,化简
,由此证得
.
②将分成偶数和奇数两种情况,利用分组求和法,证得
对
恒成立.
(3)化简,得到
,利用放缩法证得
.
(1)解:当时,
,∴
.
又∵,
,
∴,即
,
∴数列成等比数列,其首项为
,公比
,
∴,∴
;
(2)证明:①由(1)知.
注意到,所以
∵;
②当n为偶数时,设,
则;
当n为奇数时,设,
则,
∴对一切的正整数n,都有;
(3)证明:由(1)知,
得
.
又,
,∴
,
∴当时,
;
当时,
.
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