题目内容
4.已知函数f(x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin(2x-$\frac{π}{4}$)+$\frac{λ}{2}$,x∈[-$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{4}$],(λ≠0).(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当λ=2时,写出由函数y=sin2x的图象变换到与y=f(x)的图象的变换过程.
分析 (1)由x∈[-$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{4}$],可求得sin(2x-$\frac{π}{4}$)∈[-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$],分情况讨论λ的取值即可得解.
(2)由已知求得解析式f(x)=$\sqrt{2}$sin[2(x-$\frac{π}{8}$)]+1,根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解.
解答 解:(1)∵x∈[-$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{4}$],
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-π,$\frac{π}{4}$],
∴sin(2x-$\frac{π}{4}$)∈[-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$],
∴当λ>0时,函数f(x)的单调递增区间为:[$\frac{1-\sqrt{2}}{2}λ$,λ];当λ<0时,函数f(x)的单调递增区间为:[λ,$\frac{1-\sqrt{2}}{2}λ$];
(2)∵当λ=2时,f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$)+1=$\sqrt{2}$sin[2(x-$\frac{π}{8}$)]+1,
∴由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可知:由函数y=sin2x的图象,纵坐标不变,沿x轴向右平移$\frac{π}{8}$个单位,然后纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍,再沿y轴向上平移1个单位即可得到f(x)的图象.
点评 本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的单调性,属于基础题.
练习册系列答案
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