题目内容
如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点. 
（1）若直线PQ过定点
，求点A的坐标；
（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.
（1）
,（2）一个
解析试题分析：（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长
所以抛物线的方程为
.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线
的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为
，与联立消
得
，则
，
设
点坐标为
，则有
，代入化简得：
因此
，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为
，再讨论方程
解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.
试题解析：(1)设抛物线的方程为
,依题意,
,
则所求抛物线的方程为. (2分)
设直线的方程为
,点
、
的坐标分别为
.
由
,消得
.由
,得
,,
.∵
,∴
.
设点坐标为,则有
.
,
,
∴
或
.
∴
或
, ∵恒成立. ∴.
又直线过定点
,即
,代入上式得
注意到上式对任意
都成立,
故有,从而点坐标为. (8分)
(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形
,由第（1）问可知,将
用代换得直线的方程为
.设,
由
练习册系列答案
相关题目
与抛物线
交于两点A、B，如果弦
的长度
.
的值；
（O为原点）。
的右焦点为
，短轴的端点分别为
,且
.
的方程；
的直线
交椭圆于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
，试求
的取值范围．
的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
时，求直线l的方程．
的左、右焦点分别为
,离心率
，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为
.
是直线
上的不同两点，若
,求
的最小值.
在双曲线
上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．
的方程；
且斜率为
的直线
与双曲线
两个不同点，若以线段
为直径的圆经过坐标原点，求实数
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
的中点在直线
上．
在椭圆上（异于点
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
，直线
与
相交于
、
两点，
轴、
轴分别相交于
、
两点，
为坐标原点.
，求
外接圆的方程；
的两个三等分点，若存在，求出直线
（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（
，0），离心率
， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.