题目内容
已知点在双曲线
上,且双曲线的一条渐近线的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点且斜率为
的直线
与双曲线
有两个不同交点,求实数
的取值范围;
(3)设(2)中直线与双曲线
交于
两个不同点,若以线段
为直径的圆经过坐标原点,求实数
的值.
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:(1)要求双曲线的标准方程,必须找到关于的两个等式,题中一条渐近线方程为
,说明
,这是一个等式,点
在双曲线上,那么此点坐标适合双曲线方程,代入进去又可得到一个等式,这样可解得
;(2)直线与双曲线有两个不同的交点,直接把直线方程与双曲线方程联立方程组,此方程组有两解,方法是消去一个元
,得到关于
的二次方程,此方程是二次方程有两个不等的实根,则
;(3)题设条件说明
,如果设
,则有
,
可用
表示出来,而
在(2)中可用
表示出来,代入刚才的等式,得到
的方程,可解得
.
试题解析:(1)由题知,有
解得
因此,所求双曲线的方程是
.
(2)∵直线过点
且斜率为
,
∴直线:
.
联立方程组得
.
又直线与双曲线
有两个不同交点,
∴
解得.
(3)设交点为,由(2)可得
又以线段为直径的圆经过坐标原点,
因此,为坐标原点).
于是,即
,
,
,解得
.
又满足
,且
,
所以,所求实数.
考点:(1)双曲线的标准方程;(2)直线与双曲线有两个交点问题;(3)两直线垂直与圆锥网线综合题.
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