已知椭圆C:的左.右焦点分别为,离心率.连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程,(2)设是直线上的不同两点.若,求的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆C：的左、右焦点分别为,离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设是直线上的不同两点，若,求的最小值.

（1）；（2）的最小值是.

解析试题分析：（1）由离心率，四项点所成的四边形面积，可得的值. （2）由椭圆的标准方程可得点的坐标. 设.利用坐标运算，得出，又根据对称性，不妨，则.
试题解析：
解：（1）由题意得：     2分
解得：4分    所以椭圆的标准方程为： 5分
（2）由（1）知，的坐标分别为，设直线上的不同两点的坐标分别为，则、
,由得， 8分
即，不妨设，则， 11分
当时取等号，所以的最小值是    12分
考点：椭圆的标准方程与几何性质，向量的坐标运算，基本不等式求最值.

练习册系列答案

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在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线斜率为1且过点，其与轨迹交于点，求的值．

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.

已知点在抛物线上，直线（，且）与抛物线，相交于、两点，直线、分别交直线于点、.
（1）求的值；
（2）若，求直线的方程；
（3）试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.

（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；
（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.

巳知椭圆的离心率是.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.

如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，，若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值.