题目内容
设椭圆C1:的右焦点为F,P为椭圆上的一个动点.
(1)求线段PF的中点M的轨迹C2的方程;
(2)过点F的直线l与椭圆C1相交于点A、D,与曲线C2顺次相交于点B、C,当时,求直线l的方程.
(1);(2)
解析试题分析:(1)设点,而
,根据
为
中点,可得
将其代入椭圆方程整理可得点
的轨迹方程。(2)为了省去对直线
斜率的讨论,可设直线
方程为
,分别与两曲线方程联立消去
得关于
的一元二次方程,有求根公式可得方程的根,即
各点的纵坐标。由已知
,可得
,即
。从而可得
的值。
试题解析:(1)设点,而
,故
点的坐标为
,代入椭圆方程得:
,即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为:
(2)设直线l的方程为:,解方程组
,
,?当
时,则
,解方程组
,
,由题设
,可得
,有
,所以
=
,即
(
),由此解得:
,故符合题设条件的其中一条直线的斜率
;?当
时,同理可求得另一条直线方程的斜率
,故所求直线l的方程是
.
考点:1代入法求轨迹问题;2直线和圆锥曲线的位置关系问题;3直线方程。
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