题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
(1)
；(2)
；(3)
．
解析试题分析：(1)已知椭圆过两点，可把两点坐标代入方程列出关于
的方程组，然后把
分别作为整体，方程组就变为二元一次方程组，从而可很快解得；(2)关键是线段
的中点在直线
上，可设
，由线段中点为
，而直线的方程可求得
，代入可得
的一个方程，点
坐标代入椭圆方程又得另一方程，联立可解得点坐标
；(3)这类问题我们采取设而不求的方法，设
，
在直线上，则
，同理
，
，下面我们想办法把
用
表示出来，这可由
共线，
共线得到，这里要考查同学计算能力，只要计算正确，就能得出正确结论．
试题解析：（1）由已知，得
解得
2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点
，则中点为
．
由已知，求得直线的方程为
，从而
．①
又∵点在椭圆上，∴
．②
由①②，解得
（舍），
，从而
． 5分
所以点的坐标为． 6分
（3）设
，
，
．
∵
三点共线，∴
，整理，得
． 8分
∵
三点共线，∴
，整理，得
． 10分
∵点在椭圆上，∴
，
．
从而
． 14分
所以
． 15分
∴为定值，定值为． 16分
考点：(1)椭圆的标准方程；(2)中点问题；(3)定值问题．
练习册系列答案
相关题目
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
的直线
与椭圆
，
，是否存在直线
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线
上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为
，与直线
．.
、
表示出
垂直于
轴；
的面积，证明
，求点A的坐标；
的离心率是
.
，使点C(2,0)关于直线
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
的标准方程；
与椭圆
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
、
、
是长轴长为
的椭圆
上的三点，点
过椭圆中心
，且
，
．
，使得
？若存在，有几个（不必求出
，作圆
的两条线，切点分别为
、
，，若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值.
的中心在原点，右焦点为
，渐近线方程为 
.
：
与双曲线
、
两点，问：当
为何值时，以
为直径的圆过原点；
＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．