Question

设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

(1) (2)  （3）是，理由见解析

解析试题分析：
(1)根据题意已知,则利用双曲线a,b,c之间的关系与离心率的定义即可求出的值,进而得到双曲线的标准方程.
(2)根据题意可得AB为双曲线的一条弦,要求弦所在直线,还需要斜率,可以采用点差法利用弦的中来求解弦的斜率,已知了弦所在直线的斜率与弦上的中点坐标,再利用直线的点斜式即可求出弦所在直线的方程.
(3)由(2)可得AB直线的方程,联立直线AB与双曲线的方程消元解二次方程即可得到A,B两点的坐标,已知AB线段的斜率与中点即可求的AB垂直平分线的直线方程,联立垂直平分线与双曲线的方程消元解二次方程即可求的CD两点的坐标.
试题解析：
（1）依题意得，解得a=1.                         （1分）
所以，                                    （2分）
故双曲线C的方程为.                                  （3分）
（2）设，则有 .
两式相减得： ，             （4分）
由题意得，，，                     （5分）
所以，即.                         （6分）
故直线AB的方程为.                                     （7分）
（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M. （8分）
下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得：A（-1，0），B（3，4）.                         （9分）
由（1）得直线CD方程：，                             （10分）
由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），  （11分）
所以CD的中点M（-3，6）.                                      （12分）
因为，，
，，            （13分）
所以，
即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.  （14分）
考点：双曲线 直线与圆锥曲线 弦长 共圆