题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的极小值;
(Ⅱ)当时,讨论
的单调性;
(Ⅲ)若函数在区间
上有且只有一个零点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)由题意,当时,求得
,得出函数的单调性,进而求解函数的极值;
(Ⅱ)由,由
,得
或
,分类讨论,即可得到函数的单调区间;
(Ⅲ)由(1)和(2),分当和
,分类讨论,分别求得函数的单调性和极值,即可得出相应的结论,进而得到结论.
解:(Ⅰ)当时:
,令
解得
,
又因为当,
,函数
为减函数;
当,
,函数
为增函数.
所以,的极小值为
.
(Ⅱ).当
时,由
,得
或
.
(ⅰ)若,则
.故
在
上单调递增;
(ⅱ)若,则
.故当
时,
;
当时,
.
所以在
,
单调递增,在
单调递减.
(ⅲ)若,则
.故当
时,
;
当时,
.
所以在
,
单调递增,在
单调递减.
(Ⅲ)(1)当时,
,令
,得
.
因为当时,
,当
时,
,
所以此时在区间
上有且只有一个零点.
(2)当时:
(ⅰ)当时,由(Ⅱ)可知
在
上单调递增,且
,
,此时
在区间
上有且只有一个零点.
(ⅱ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合
,又
,
只需讨论的符号:
当时,
,
在区间
上有且只有一个零点;
当时,
,函数
在区间
上无零点.
(ⅲ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合
,
,
,此时
在区间
上有且只有一个零点.
综上所述,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了了解高三学生的心理健康状况,某校心理健康咨询中心对该校高三学生的睡眠状况进行抽样调查,随机抽取了50名男生和50名女生,统计了他们进入高三后的第一个月平均每天睡眠时间,得到如下频数分布表.规定:“平均每天睡眠时间大于等于8小时”为“睡眠充足”,“平均每天睡眠时间小于8小时”为“睡眠不足”.
高三学生平均每天睡眠时间频数分布表
睡眠时间(小时) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) | [9,10) |
男生(人) | 4 | 18 | 10 | 12 | 6 |
女生(人) | 2 | 20 | 16 | 8 | 4 |
(Ⅰ)请将下面的列联表补充完整:
睡眠充足 | 睡眠不足 | 合计 | |
男生(人) | 32 | ||
女生(人) | 12 | ||
总计 | 100 |
(Ⅱ)根据已完成的2×2列联表,判断是否有90%的把握认为“睡是否充足与性别有关”?
附:参考公式=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 10.828 |