题目内容

【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设函数 ,若对任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:∵函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0)的图象是开口朝上,且以直线x= 为对称轴的抛物线,

若f(x)在区间[1,2]为单调增函数

解得:


(2)解:①当0< <1,即a> 时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,

此时g(a)=f(1)=3a﹣2

②当1≤ ≤2,即 时,f(x)在区间[1, ]是减函数,在区间[ ,2]上为增函数,

此时g(a)=f( )=

③当 >2,即0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,

此时g(a)=f(2)=6a﹣3

综上所述:


(3)解:对任意x1,x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,

即f(x)min≥h(x)max

由(2)知,f(x)min=g(a)

又因为函数

所以函数h(x)在[1,2]上为单调减函数,所以

①当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,解得 ,(舍去)

②当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,即8a2﹣2a﹣1≥0,

∴(4a+1)(2a﹣1)≥0,解得

所以

③当 时,由g(a)≥h(x)max得: ,解得

所以a

综上所述:实数a的取值范围为


【解析】(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,则 ,解得a的取值范围;(2)分类讨论给定区间与对称轴的关系,分析出各种情况下g(x)的表达式,综合讨论结果,可得答案;(3)不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,即f(x)min≥h(x)max , 分类讨论各种情况下实数a的取值,综合讨论结果,可得答案.

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