题目内容
【题目】已知函数f(x)=a﹣ 为奇函数.
(1)求a的值;
(2)试判断函数f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;
(3)若对任意的t∈R,不等式f[t2﹣(m﹣2)t]+f(t2﹣m+1)>0恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由于函数f(x)为奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x);
∴a﹣ =﹣a+
;
∴2a= ;
∴a=1
(2)解:任意x1,x2∈R,且x1<x2;
f(x1)﹣f(x2)=1﹣ ﹣1+
;
= <0;
∵x1<x2∴0< <
∴ >0,
所以,f(x1)<f(x2);
则f(x)为R上的单调递增函数
(3)解:因为f(x)=1﹣ 为奇函数,且在R上为增函数;
所以由f(t2﹣(m﹣2)t)+f(t2﹣m+1)>0恒成立,
得到:t2﹣(m﹣2)t>m﹣1﹣t2 对t∈R恒成立;
化简后:2t2﹣(m﹣2)t﹣m+1>0;
所以△=(m﹣2)2+8(m﹣1)<0;
∴﹣2﹣2 <m<﹣2+2
;
故m的取值范围为:(﹣2﹣2 ,﹣2+2
)
【解析】(1)直接利用奇函数的定义f(﹣x)=f(x),可求出a值;(2)直接利用函数的单调性定义证明即可;(3)利用奇函数与单调性直接转化为t2﹣(m﹣2)t>m﹣1﹣t2 对t∈R恒成立,从而求出m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题.
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【题目】本市某玩具生产公司根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每天生产,
,
三种玩具共100个,且
种玩具至少生产20个,每天生产时间不超过10小时,已知生产这些玩具每个所需工时(分钟)和所获利润如表:
玩具名称 | |||
工时(分钟) | 5 | 7 | 4 |
利润(元) | 5 | 6 | 3 |
(Ⅰ)用每天生产种玩具个数
与
种玩具
表示每天的利润
(元);
(Ⅱ)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?