Question

设计如图所示一水渠，它的横截面曲线是抛物线形，宽2m，渠深为1.5m，水面EF距AB为0.5m.     （1）求截面图中水面宽度；
（2）由于情况有变，现要将此水渠改造为横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？

Answer 1

（1）建立如图所示坐标系,则抛物线方程为
当时,，∴水面宽
（2）如图,设抛物线一点 
因改造水渠中准挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能
沿过点M与抛物线相切的切线挖土。
由,求导得  ∴过点M的切线斜率为3t
切线方程为:,令,则
故截面梯形面积为： 
当且仅当时所挖土最少，此时下底宽m。
答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少。
【说明】04年广东高考卷出现一道声响定位问题,其知识载体为双曲线;如果06年高考出现一道圆锥曲线型的应用问题,你认为它考查的方向如何?以那种曲线为知识载体?圆?椭圆?双曲线?抛物线?等!