题目内容

2.已知四棱锥P-ABCD,它的底面是边长为a的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面ABCD,又PC=a,E为PA的中点.
(1)求证:平面EBD⊥平面ABCD;
(2)求点E到平面PBC的距离;
(3)求二面角A-BE-D的正切值.

分析 (1)连结AC交BD于点O,连结EO,由三角形中位线定理得EO∥PC.由线面垂直得EO⊥平面ABCD,由此能证明平面EBD⊥平面ABCD.
(2)过O作OF⊥BC于点F,OF为O到平面PBC的距离,OF的长即为E到平面PBC的距离,由此能求出点E到平面PBC的距离.
(3)过O作OH⊥BE于点H,连结AH,∠OHA为所求二面角的平面角,由此能求出二面角A-BE-D的大小.

解答 (1)证明:连结AC交BD于点O,连结EO.
∵E、O分别是PA、AC的中点,
∴EO∥PC.又PC⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EBD,
∴平面EBD⊥平面ABCD.
(2)解:过O作OF⊥BC于点F,则OF为O到平面PBC的距离.
由于EO∥平面PBC,
∴OF的长即为E到平面PBC的距离,OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a,
即点E到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a.
(3)解:过O作OH⊥BE于点H,连结AH,
则∠OHA为所求二面角的平面角,
在Rt△BOE中,OH=$\frac{OB×OE}{BE}$=$\frac{\frac{a}{2}×\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$,OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∴tan∠OHA=$\frac{OA}{OH}$=$\sqrt{6}$.
故二面角A-BE-D的大小为arctan$\sqrt{6}$.

点评 本题考查面面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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