Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{3}$，π）
• B． [$\frac{π}{6}$，π）
• C． （0，$\frac{π}{3}$]
• D． （0，$\frac{π}{6}$]

Answer 1

分析 公比为q，则q＞0，a=$\frac{b}{q}$，c=bq，由余弦定理得cosB=$\frac{1}{2}$（q²+$\frac{1}{{q}^{2}}$-1）≥$\frac{1}{2}×（2\sqrt{{q}^{2}×\frac{1}{{q}^{2}}}-1）$=$\frac{1}{2}$，由此能求出角B的取值范围．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，
∴设公比为q，则q＞0，a=$\frac{b}{q}$，c=bq，
∴cosB=$\frac{\frac{{b}^{2}}{{q}^{2}}+{b}^{2}{q}^{2}-{b}^{2}}{2×\frac{b}{q}×bq}$=$\frac{1}{2}$（q²+$\frac{1}{{q}^{2}}$-1）≥$\frac{1}{2}×（2\sqrt{{q}^{2}×\frac{1}{{q}^{2}}}-1）$=$\frac{1}{2}$，
∵B是△ABC的内角，∴0$＜B＜\frac{π}{3}$，
∴角B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查三角形的内角的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等比数列、余弦定理的性质的合理运用．