Question

15．已知关于x的方程$\frac{x}{a}$+$\frac{b}{x}$=1，其中a，b为实数．
（1）若x=1-$\sqrt{3}i$是该方程的根，求a，b的值．
（2）当$\frac{b}{a}$＞$\frac{1}{4}$且a＞0时，证明该方程没有实数根．

Answer 1

分析 （1）通过将x=1-$\sqrt{3}i$代入方程$\frac{x}{a}$+$\frac{b}{x}$=1并化简，利用复数相等，计算即得结论；
（2）用反证法证明即可．

解答 （1）解：将x=1-$\sqrt{3}i$代入方程$\frac{x}{a}$+$\frac{b}{x}$=1，
化简得：（$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{4}$）+（$\frac{\sqrt{3}}{4}$b-$\frac{\sqrt{3}}{a}$）i=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{4}$=1且$\frac{\sqrt{3}}{4}$b-$\frac{\sqrt{3}}{a}$=0，
解得：a=b=2；
（2）证明：原方程化为：x²-ax+ab=0，
假设原方程有实数解，那么△=（-a）²-4ab≥0，即a²≥4ab，
∵a＞0，∴$\frac{b}{a}$≤$\frac{1}{4}$，这与$\frac{b}{a}$＞$\frac{1}{4}$矛盾，
∴原方程没有实数根．

点评 本题考查复数形式的混合运算，注意解题方法的积累，属于中档题．