题目内容
7．讨论函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a≠$\frac{1}{2}$）在（-2，+∞）上的单调性．分析 先将f（x）变成：f（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，根据单调性的定义，设x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，通过作差并讨论a的取值即可判断f（x1），f（x2）的大小，从而判断f（x）在（-2，+∞）上的单调性
解答 解：f（x）=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$；
设x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2；
f（x1）-f（x2）=$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（1-2a）{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}+2）{（x}_{2}+2）}$；
∵x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2；
∴（x1+2）（x2+2）＞0，x2-x1＞0；
∴若1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（-2，+∞）上单调递增；
若1-2a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$时，f（x1）＞f（x2），∴此时f（x）在（-2，+∞）上单调递减．
点评 考查分离常数法化简f（x），以及函数的单调性定义，根据函数单调性定义讨论f（x）单调性的过程．
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