Question

18．当P为何值时，不等式$\frac{{x}^{2}+px-2}{{x}^{2}-x+1}$＜2对任意实数x恒成立？

Answer 1

分析 原不等式可化为x²-（2+p）x+4＞0恒成立，再由判别式小于0，解二次不等式即可得到所求范围．

解答 解：不等式$\frac{{x}^{2}+px-2}{{x}^{2}-x+1}$＜2
即为$\frac{{x}^{2}-（2+p）x+4}{{x}^{2}-x+1}$＞0，
由x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
即有x²-（2+p）x+4＞0恒成立，
即有判别式△=（2+p）²-16＜0，
解得-6＜p＜2．
故当-6＜p＜2时，原不等式对任意实数x恒成立．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意转化为二次不等式恒成立问题，结合二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．