题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，
且
，
，
分别为
，
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若直线与平面
所成的角的大小为
，求锐二面角
的正切值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）由已知条件可得
是平行四边形，从而
，由已知条件能证明
平面
，由此能证明
平面；（2）以
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，不妨设
，
，求出面
的一个法向量为
，根据线面角可求出
，在
中求出
，在
即可求出结果.
（1）取
中点
，连接
，则
，从而
，
连接
，则
为平行四边形，从而
.
∵直三棱柱中，
平面
，
面，∴
,
∵
，是的中点，∴
,
∵
，∴面
故平面
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由条件：不妨设，，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
，可取为一个法向量
，
过作
，连
，则
为二面角
的平面角，
在中，
，
在中，
，，则
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