题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
且
,
,
分别为
,
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若直线与平面
所成的角的大小为
,求锐二面角
的正切值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)由已知条件可得是平行四边形,从而
,由已知条件能证明
平面
,由此能证明
平面
;(2)以
为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,不妨设
,
,求出面
的一个法向量为
,根据线面角可求出
,在
中求出
,在
即可求出结果.
(1)取中点
,连接
,则
,从而
,
连接,则
为平行四边形,从而
.
∵直三棱柱中,平面
,
面
,∴
,
∵,
是
的中点,∴
,
∵,∴
面
故平面
(2)以为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
由条件:不妨设,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
,可取
为一个法向量
,
过作
,连
,则
为二面角
的平面角,
在中,
,
在中,
,
,则
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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