题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣1+alnx.(e为自然对数的底数),λ=min{a+2,5}.(min{a,b}表示a,b中较小的数.)
(1)当a=0时,设g(x)=f(x)﹣x,求函数g(x)在[,
]上的最值;
(2)当x1时,证明:f(x)+x2
λ(x﹣1)+2.
【答案】(1)最大值为,最小值0;(2)详见解析.
【解析】
(1)当a=0时,化简,通过g'(x)=ex﹣1﹣1,令g'(x)=0,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的极值以及函数的最值即可.
(2)①当a+25即a
3时,λ=a+2.f(x)+x2
λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a
0,设k(x)=ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a,求出导函数,构造函数
,通过函数的导数,判断函数的单调性,结合a
3,a>3时,通过函数的最值,转化证明即可.
解:(1)当a=0时,,
则g'(x)=ex﹣1﹣1,令g'(x)=0,得x=1,
当x1时,g'(x)
0;当x
1时,g'(x)
0,
所以函数g(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,
从而g(x)在上的最小值为g(1)=0,
因为,
,
所以,
从而g(x)在上的最大值为
.
(2)①当a+25,即a
3时,λ=a+2.f(x)+x2
λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a
0,
设k(x)=ex﹣1+alnx+x2﹣(a+2)x+a,
则,
令,
则,
因为x1,
所以x2ex﹣1+2x2=x2(ex﹣1+2)3,
因为a3,
所以φ'(x)0,当且仅当x=1且a=3时,等号成立.
从而k'(x)在[1,+∞)上单调递增.
注意到k'(1)=1,所以k'(x)0,从而k(x)在[1,+∞)上单调递增,
注意到k(1)=0,所以k(x)0,原不等式成立.
②当a+25即a>3时,λ=5,f(x)+x2
λ(x﹣1)+2ex﹣1+alnx+x2﹣5x+3
0,
由(1)知ex﹣1x,及x
1,a
3,
所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+33lnx+x2﹣4x+3.
设h(x)=3lnx+x2﹣4x+3,x1,
则,
所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,
注意到h(1)=0,
所以h(x)0,原不等式成立.
综上,当x1时,不等式f(x)+x2
λ(x﹣1)+2成立.
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【题目】绵阳是党中央、国务院批准建设的中国唯一的科技城,重要的国防科研和电子工业生产基地,市某科研单位在研发过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值(
值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量
(单位:克)的关系为:当
时,
是
的二次函数;当
时,
测得部分数据如表:
| |||||
(1)求关于
的函数关系式
;
(2)求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.