题目内容
【题目】如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,,
,
.
(1)当时,求
的大小;
(2)求的面积S的最小值及使得S取最小值时
的值.
【答案】(1)θ=60;(2)当θ=45时,S取最小值.
【解析】
试题本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,在中,
,①,而在
中,利用正弦定理,用
表示DE,在
中,利用正弦定理,用
表示DF,代入到①式中,再利用两角和的正弦公式展开,解出
,利用特殊角的三角函数值求角
;第二问,将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中,利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式,利用正弦函数的有界性确定S的最小值.
在△BDE中,由正弦定理得,
在△ADF中,由正弦定理得. 4分
由tan∠DEF=,得
,整理得
,
所以θ=60. 6分
(2)S=DE·DF=
. 10分
当θ=45时,S取最小值. 12分
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