题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点
，
，
，
是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足
.
（1）求椭圆
的方程.
（2）若斜率为
的直线与圆：
相切，与椭圆相交于不同的两点
、
，求
时，求的取值范围.
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
（1）由题意设出
，
，
的坐标，代入椭圆方程作差可得a与b的关系，结合右焦点坐标解得a，b即可.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将
用k与m表示，再利用直线与圆相切得到k，m的关系，代入表达式，得到关于k的不等式，解得k的范围即可．
（1）由题可设
，
，
，
所以
两式相减得
，
.即
，
所以
，又
，
，所以
，
，
所以椭圆
的标准方程为.
（2）设直线方程为
，交椭圆于点
，
.
联立方程
，得
，
，
.
所以
=
，
因为直线与圆
相切，所以
，
即
，代入，得
.
所以
因为
，所以
，
化简得
，或
（舍）.
所以
或
，
故k的取值范围为
.
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