Question

【题目】已知直线：与焦点为的抛物线：相切.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由消去得，，根据判别式等于零解得，从而可得结果；（Ⅱ）可设直线的方程为，由消去得，，利用韦达定理求得线段的中点的坐标，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，由梯形中位线定理可得，由点到直线的距离公式，利用配方法可得结果.

（Ⅰ）∵直线：与抛物线相切.

由消去得，，从而，解得.

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）由于直线的斜率不为0，

所以可设直线的方程为，，.

由消去得，，

∴，从而，

∴线段的中点的坐标为.

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，

则 ，

∴当时，、两点到直线的距离之和最小，最小值为.