题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)若对任意的,
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)对求导得到
,代入
,得到切线的斜率,结合切点,得到切线方程;(2)根据题意,得到
,然后利用参变分离,得到
,设
,利用导数得到
的最小值,从而得到
的范围.
(1)因为,所以函数
,
所以,即切点为
所以,
代入,得到
,
故所求的切线方程为,
即.
(2)对任意的,
,
恒成立,
可得,对任意的
,
恒成立,
,令
得
或
,
所以时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
而,
,所以
,
所以,对任意的
恒成立,
即对任意的
恒成立,
所以,对任意的
恒成立,
设,
,则
,
设,
因为,所以
,所以
单调递增,
即单调递增,而
,
所以当,
,
单调递减,
当,
,
单调递增,
所以时,
取得最小值,为
,
所以.
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