题目内容
【题目】如图,平面平面
,且
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线AB与平面所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根据题意,过点A作,垂足为O,连接OD,证明
,根据线面垂直的判定定理,证明
平面AOD,再根据线面垂直的性质定理证明
。
(Ⅱ)设点B在平面ADC上的投影为点H,则就是直线AB与平面ADC所成角.法一找直角三角形,利用勾股定理求得
,从而求出
,法二利用等体积法求出
,从而求得;法三建立坐标系,利用向量法,求出平面
的法向量,再根据利用向量法求夹角余弦值求得。
(Ⅰ)证明:过点A作,垂足为O,连接OD.
由,得
,
而,
,则
与
全等,
故,即
,
而,故
平面AOD ,
而平面AOD,故
;
(Ⅱ)解法1:设点B在平面ADC上的投影为点H,
则就是直线AB与平面ADC所成角.
由AB=BC=BD,可知HA=HC=HD,点H为△ADC的外心
由(Ⅰ)知,就是直二面角
的平面角,故
.
设,利用勾股定理等知识,求得
,
因此,,
故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.
解法2:设点B在平面ADC上的投影为点H,
则∠BAH就是直线AB与平面ADC所成角.
由(Ⅰ)知,就是直二面角
的平面角,故
,
设,利用
,求得
,
因此,,
.
故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.
解法3:
由(Ⅰ)知,就是直二面角
的平面角,故
,
建立如图的空间直角坐标系Oxyz,设,
则,
,
,
.
于是,,
,
,
设平面ADC的法向量为,则
,即
.
解得 ,
设所求线面角为,则
,
,
因此,,故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为
.
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