Question

【题目】已知函数 ．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；

(3)求证：．

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；

（2）

（3）证明见解析

【解析】

(1)求导得到，讨论和两种情况得到答案.

(2) 令，讨论的单调性，计算的最值得到答案.

(3) 令，在上单调递增，得到对一切成立，故代入计算得到到答案.

（1）函数的定义域为，

当时，的单调增区间为，单调减区间为；

当时，的单调增区间为，单调减区间为；

（2）令,

则，令，则,

（a）若,即 则在是增函数,

, 无解.

（b）若即，则在是减函数,

所以,

（c）若,即，在是减函数, 在是增函数,

最大值可得,可得

所以 ,

综上所述 ,

（3）令，此时，所以，

由（1）知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立，

∵，则有，

所以