Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，且DM=2 ．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求点B到平面DOM的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC中，O为AC的中点，M为BC的中点，

∴OM∥AB．

∵OM平面ABD，AB平面ABD，

∴OM∥平面ABD

（2）解：∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，

∴在三棱锥B﹣ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O为BD的中点，∴OD= BD=2．

∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM= AB=2

又∵OD2+OM2=8=DM2，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．

∵AC平面ABC，OM平面ABC，AC∩OM=O，

∴OD⊥平面ABC．

∵OD平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC

（3）解：由（2）得OD⊥平面BOM，可得OD是三棱锥D﹣BOM的高．

设点B到面DOM距离为h，由OD=2，

∴ ，

∵因为VB﹣DOM=VD﹣BOM，

∴ S△DOMh= S△ABCOD，即 ，解得 ，

即点B到平面DOM的距离等于

【解析】（1）根据三角形的中位线定理，可得OM∥AB．再由线面平行判定定理，得到OM∥平面ABD；（2）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4，OD= BD=2，从而算出∠DOM=90°，即OD⊥OM．根据OD⊥AC，利用线面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC，进而得出平面DOM⊥平面ABC．（3）分别算出△DOM的△ABC面积，利用三棱锥B﹣DOM与三棱锥D﹣BOM体积相等加以计算，可得点B到平面DOM的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．