Question

【题目】已知函数，．

（1）判断函数的奇偶性，并证明．

（2）若，，求的值．

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）奇函数．

（2）．

（3）．

【解析】试题分析：

（1）根据函数奇偶性的判定方法证明即可．（2）当时，，根据题意得到关于x的方程，解方程可得的值，再由题意可得所求．（3）用分离参数的方法求解，转化为求函数最值的问题，求最值时要先根据定义判断函数的单调性．

试题解析：

（1）由题意知，的定义域为，定义域关于原点对称．

又，

∴是上的奇函数．

（2）当时，，

令，即，

整理得，

解得或，

又，

∴，

∴．

（3）由题意知，在上恒成立，

即在上恒成立．

①当时，显然对于成立．

②当时，在上恒成立，

设，

令，则，

则，，

设，

则，

所以当时，，，函数在上单调递减；

当时，，，函数在上单调递增．

故，

故．

综上可得实数的取值范围．