Question

15．已知直线x+y-k=0（k＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$，则实数k=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用向量关系，得出圆心到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{6}$|$\overrightarrow{AB}$|，由勾股定理，建立方程，即可求出k．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{6}$|$\overrightarrow{AB}$|，
圆心到直线的距离d=$\frac{-k}{\sqrt{2}}$，由勾股定理可得（$\frac{-k}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{3}}$•$\frac{-k}{\sqrt{2}}$）²=4，
∵k＞0，
∴k=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．