Question

3．下列4个不等式：
（1）${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx＜${∫}_{0}^{1}$$\root{3}{x}dx$； 
（2）${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx＜${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx；
（3）${∫}_{0}^{1}$e^-xdx＜${∫}_{0}^{1}$e${\;}^{-{x}^{2}}$dx；    
（4）${∫}_{0}^{2}$sinxdx＜${∫}_{0}^{2}$xdx．
能够成立的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．

解答 解：（1）由于x∈（0，1），∴$\sqrt{x}$$＜\root{3}{x}$，∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx＜${∫}_{0}^{1}$$\root{3}{x}dx$；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴sinx＜cosx，∴${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx＜${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx；
（3）∵${e}^{-x}＜{e}^{-{x}^{2}}$，∴${∫}_{0}^{1}$e^-xdx＜${∫}_{0}^{1}$e${\;}^{-{x}^{2}}$dx；
（4）令f（x）=x-sinx，x∈[0，2]，则f′（x）=1-cosx≥0，∴${∫}_{0}^{2}$sinxdx＜${∫}_{0}^{2}$xdx．
综上可得：正确的命题有4个．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、定积分的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．