题目内容

20．已知复数z满足（1+3i）z=10i（其中i为虚数单位），则z等于（　　）
A．3-iB．3+iC．1+3iD．1-3i

分析 通过（1+3i）z=10i可知z=$\frac{10i}{1+3i}$，进行分母有理化计算即得结论．

解答 解：∵（1+3i）z=10i，
∴z=$\frac{10i}{1+3i}$=$\frac{10i（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$=$\frac{-30{i}^{2}+10i}{1-9{i}^{2}}$=$\frac{30+10i}{10}$=3+i，
故选：B．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

练习册系列答案
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10．如图，海岸线上相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向与A相距$3\sqrt{2}$海里的D处，乙船位于灯塔B的北偏西60°方向与B相距5海里的C处，则两艘轮船相距（　　）海里．
A．$2\sqrt{3}$B．$\sqrt{13}$C．$3\sqrt{2}$D．$2\sqrt{5}$
11．（1）已知矩阵$M=[{\begin{array}{l}2&a\\ b&1\end{array}}]$，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．
（2）在极坐标系中，设直线$θ=\frac{π}{3}$与曲线ρ2-10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．
8．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AN}（1≤λ≤2）$，求证f′（u）＜k．
15．已知直线x+y-k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{AB}}|$，则实数k=（　　）
A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2
5．已知$\frac{{2{{sin}^2}θ+sin2θ}}{1+tanθ}=k，0＜θ＜\frac{π}{4}$，则$sin（θ-\frac{π}{4}）$的值（　　）
A．随着k的增大而增大
B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小
C．随着k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数
12．化简：$\frac{sin（θ-π）si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）tan（θ+3π）}{cos（2π-θ）cos（-\frac{3π}{2}+θ）sin（π+θ）}$．
9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-tx2+（2t2-1）x+1，g（x）=e2x-2tex+2．
（1）若f（x）存在单调递减区间，求实数t的取值范围；
（2）设函数F（x）=g（x）+f′（x），若对于任意的实数x和t都有F（x）≥m恒成立，求m的取值范围．
10．已知a为如图所示的算法框图中输出的结果，则a的值为（　　）
A．2B．-1C．$\frac{1}{2}$D．-2

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