Question

【题目】近日，某公司对其生产的一款产品进行促销活动，经测算该产品的销售量P（单位：万件）与促销费用x（单位：万元）满足函数关系：p=3﹣ （其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品件数为P（单位：万件）时，还需投入成本10+2P（单位：万元）（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+ ）元/件，假定生产量与销售量相等．
（1）将该产品的利润y（单位：万元）表示为促销费用x（单位：万元）的函数；
（2）促销费用x（单位：万元）是多少时，该产品的利润y（单位：万元）取最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，y=（4+ ）p﹣x﹣（10+2p），

将p=3﹣ 代入化简得：y=26﹣ ﹣x（0≤x≤a）；

（2）解：y′=﹣ ，

当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数26﹣ ﹣x在（0，1）上单调递增，

当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数26﹣ ﹣x在（1，a）上单调递减，

从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当a＜1时，因为函数26﹣ ﹣x在（0，1）上单调递增，

所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．

即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．

综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为23 万元；

当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为26﹣ ﹣a 万元

【解析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．