Question

【题目】已知函数f（x）=e2x﹣1（x2+ax﹣2a2+1）．（a∈R）
（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1时，f（x）=e2x﹣1（x2+x﹣1），

f′（x）=e2x﹣1（2x2+4x﹣1），

∴f（1）=e，f′（1）=5e，

故切线方程是：y﹣e=5e（x﹣1），

即y=5ex﹣4e；

（2）解：f′（x）=e2x﹣1[2x2+（2a+2）x﹣4a2+a+2]，

令f′（x）=0，得：2x2+（2a+2）x﹣4a2+a+2=0，

而△=4（9a2﹣3），

当△≤0时，即：﹣ ≤a≤ 时，f′（x）≥0恒成立，

∴f（x）在R递增．

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．