Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC=2b﹣c．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得2acosC=2b﹣c，

结合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinB﹣sinC，

∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，

∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，

∴2cosAsinC=sinC，即cosA= ，

∴sinA=

（2）解：由（1）可得a=1，sinA= ，A= ，

∴b= = sinB，同理可得c= sinC，

∴△ABC的周长l=1+ sinB+ sinC

=1+ sinB+ sin（ ﹣B）

=1+ （sinB+ cosB+ sinB）

=1+ （ sinB+ cosB）

=1+2sin（B+ ），

∴B∈（0， ），∴B+ ∈（ ， ），

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，

∴2sin（B+ ）∈（1，2]，

∴1+2sin（B+ ）∈（2，3]，

∴△ABC的周长l的取值范围为（2，3]

【解析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA= ，进而可得sinA= ；（2）由（1）可得a=1，sinA= ，A= ，结合正弦定理可得l=1+ sinB+ sinC=1+2sin（B+ ），由B∈（0， ）和三角函数的值域可得．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．