Question

【题目】已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2 ， g（x）=k（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当k=2时，求证：对于x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；
（3）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

当f′（x）＞0 时，所以 x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，

当f′（x）＜0时，解得 ，

所以 f（x） 单调增区间为 ，递减区间是（ ，+∞）；

（2）解：当k=2时，g（x）=2（x+1）．

令H（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．

H′（x）= ，

令H′（x）=0，即﹣2x2﹣8x﹣6=0，解得x=﹣1或x=﹣3（舍）．

∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．

∴Hmax（x）=H（﹣1）=0，

∴对于x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．

（3）解：由（2）知，当k=2时，f （x）＜g （x）恒成立，

即对于“x＞﹣1，2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；

当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k （x+1）．

∴2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），

即f （x）＜g （x）恒成立，不存在满足条件的x0；

令h（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），

h′（x）= ，

当k＜2时，令t （x）=﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），

可知t （x）与h′（x）符号相同，

当x∈（x0，+∞）时，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）单调递减，

当x∈（﹣1，x0）时，h （x）＞h （﹣1）=0，即f （x）﹣g （x）＞0恒成立，

综上，k的取值范围为（﹣∞，2）

【解析】（1）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（2）令H（x）=f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明Hmax（x）＜0即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．