题目内容
【题目】已知为正整数,数列
满足
,
,设数列
满足
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若数列是等差数列,求实数
的值;
(3)若数列是等差数列,前
项和为
,对任意的
,均存在
,使得
成立,求满足条件的所有整数
的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由,可得
,两边开方得
,于是证得数列
为等比数列.(2)由(1)可得
,故
,从而可得数列
的通项公式,根据等差数列可得
,由此求得
或
,然后分别验证可得
符合条件.(3)由题意可得有
成立,即
对任意的
,均存在
成立,且
为正整数,然后将
分为奇数和偶数两种情况讨论,最后可得
时符合题意.
试题解析:
(1)证明:∵,
∴,
又,
∴,
数列
是首项为
,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)得,
∴,
∴
数列
是等差数列,
∴,
,
解得或
.
当时,
,是关于n的一次函数,因此数列
是等差数列;
当时,
,由于
,不是常数,因此数列
不是等差数列.
综上可得.
(3)解:由(2)得,
对任意的,均存在
,使得
成立,
即有,
化简得,
当时,
,对任意的
,符合题意;
当时,若
,则
不符合题意.对任意的
,也不符合题意.
综上可得,当,对任意的
,均存在
,使得
成立.
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