Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+ =2cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：cos2A+ =2cosA，

即2cos2A﹣1+ =2cosA，

即有4cos2A﹣4cosA+1=0，

（2cosA﹣1）2=0，

即cosA= ，（0＜A＜π），

则A=

（2）解：由正弦定理可得b= = = sinB，

c= = sinC，

则l=a+b+c=1+ （sinB+sinC），

由A= ，B+C= ，

则sinB+sinC=sinB+sin（ ﹣B）= sinB+ cosB= sin（B+ ），

即有l=1+2sin（B+ ），

由于0＜B＜ ，则 ＜B+ ＜ ，

sin（B+ ）≤1，

即有2＜l≤3．

则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]

【解析】（1）运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A；（2）运用正弦定理，求得b，c，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图像和性质，即可得到范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．