题目内容

已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点的直线l与C交于A，B两点，若
MA
•
MB
=0，求|AB|．
由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），设A(
y21
8
，y1)，B(
y22
8
，y2)．
设直线l的方程为my=x-2，联立
my=x-2
y2=8x
，化为y2-8my-16=0，
∴y1+y2=8m，y1y2=-16．（*）
∵
MA
•
MB
=0，∴(
y21
8
+2，y1-2)•(
y22
8
+2，y2-2)=0．
化为(
y21
8
+2)(
y22
8
+2)+(y1-2)(y2-2)=0，
整理为
y21
y22
64
+
1
4
(y1+y2)2+
1
2
y1y2+8-2（y1+y2）=0，
把（*）代入上式可得
162
64
+
1
4
×(8m)2+
1
2
×(-16)+8-2×8m=0，
化为4m2-4m+1=0，解得m=
1
2
．
∴y1+y2=4，y1y2=-16．
∴|AB|=
(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
(1+
1
4
)(42+4×16)
=10．
练习册系列答案
相关题目
将曲线C1：(x-4)2+y2=4所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
1
2
得到曲线C2，将曲线C2向左（x轴负方向）平移4个单位，得到曲线C3．
（Ⅰ）求曲线C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x轴的直线l与曲线C3相交于C、D两点（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直线AC、BD相交于点P，求P点的轨迹方程．
如图椭圆C的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为
9
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M（3
2
，
2
），椭圆的离心率e=
2
2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点，那么实数k的值是（　　）
A．k=±1B．k=±
3
C．k=±1或k=±
3
D．k=±
2
若点P（2，-1）平分椭圆
x2
12
+
y2
8
=1的一条弦，则该弦所在的直线方程为______．（结果写成一般式）
抛物线y2=4x上一定点P（x0，2），直线l的一个方向向量
d
=(1，-1)
（1）若直线l过P，求直线l的方程；
（2）若直线l不过P，且直线l与抛物线交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，求kPA+kPB的值．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
（1）若椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
3
，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-
cosθ
sinθ
，mn=-
3
sinθ
(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离dmin=
a2+b2-b
．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝(　　)
A．4∶10∶25B．4∶9∶25
C．2∶3∶5D．2∶5∶25

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网