Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（n∈N^*），考查下列结论：
①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{a_n}为等差数列；④数列{b_n}为等比数列．
以上命题正确的是②③④．

Answer 1

分析 利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．

解答 解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，
（2）令x=y=-1，得f（-1）=0；
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．故②正确，
（3）若${a_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2^n}（{n∈N*}）$，
则a_n-a_n-1=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{2f（{2}^{n-1}）+{2}^{n-1}f（2）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{f（2）}{2}=\frac{2}{2}=1$为常数，
故数列{a_n}为等差数列，故③正确，
④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴当x=y时，f（x²）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），
则f（2²）=4f（2）=8=2×2²，
f（2³）=2²f（2）+2f（2²）=2³+2×2³═3×2³，
…
则f（2ⁿ）=n×2ⁿ，
若${b_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{n}（{n∈{N^*}}）$，
则$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{\frac{f（{2}^{n}）}{n}}{\frac{f（{2}^{n-1}）}{n-1}}$=$\frac{（n-1）f（{2}^{n}）}{nf（{2}^{n-1}）}$=$\frac{（n-1）•n•{2}^{n}}{n•（n-1）•{2}^{n-1}}$=2为常数，
则数列{b_n}为等比数列，故④正确，
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．