Question

【题目】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.

Answer 1

【答案】：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的单调增为单调减区为.

（Ⅲ）见解析

【解析】

试题(1)根据导数的几何意义，可知，所以先求函数的导数，然后代入，即得.

(2)根据导数求函数的单调区间，第一步先求，因为，所以，第二步，令，求，或的解集，即为函数的单调增，减区间；

（3）第一步先求函数，再设，第二步求，以及求函数的极值点，分析两侧的单调性以及最大值，第三步，分析当时，，所以，即命题成立.

试题解析：解 (1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.

又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)

(3)因为g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，

求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；

当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．

所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，

所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.

综上所述结论成立