Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$，若对任意b，总存在实数x₀，使得f（x₀）=b成立，则实数a的取值范围是[-5，11]．

Answer 1

分析 若对任意b，总存在实数x₀，使得f（x₀）=b成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$的值域为R，分类讨论满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若对任意b，总存在实数x₀，使得f（x₀）=b成立，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$的值域为R，
①当a≤-1时，
x≤a时，f（x）=x²+2x≥a²+2a，
x＞a时，f（x）=-x+10＜-a+10，
-a+10≥a²+2a，
解得：-5≤a≤2，
故-5≤a≤-1；
②当a＞-1时，
x≤a时，f（x）=x²+2x≥-1，
x＞a时，f（x）=-x+10＜-a+10，
-a+10≥-1，
解得：a≤11，
故-1＜a≤11；
综上所述，a∈[-5，11]．
故答案为：[-5，11]

点评 本题考查的知识点是分类函数的应用，分类讨论思想，难度中档．