题目内容
2.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,试证至少存在一点ξ∈(0,1),使f′(ξ)=-$\frac{3f(ξ)}{ξ}$.分析 设F(x)=x3f(x),可得F(1)=F(0)=0,根据罗尔定理,可得在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=0,进而得到答案.
解答 证明:设F(x)=x3f(x),显然函数F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,
且F(0)=0f(0)=0,F(1)=1f(1)=0,
即F(0)=F(1)
所以根据罗尔定理,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=3ξ2f(ξ)+ξ3f′(ξ)=0.
即3f(ξ)=-ξf′(ξ),
即f′(ξ)=-$\frac{3f(ξ)}{ξ}$.
点评 本题考查的知识点是罗尔定义的应用,函数的连续性,难度中档.
练习册系列答案
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