题目内容
19.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是(-2018,-2015).分析 根据题意,构造函数g(x)=x3f(x),x∈(-∞,0),利用导数判断g(x)的单调性,
再把不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0化为g(x+2015)>g(-3),
利用单调性求出不等式的解集.
解答 解:根据题意,令g(x)=x3f(x),
其导函数为g′(x)=3x2f(x)+x3f′(x)=x2[3f(x)+xf′(x)],
∵x∈(-∞,0)时,3f(x)+xf′(x)>0,
∴g(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增;
又不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0可化为
(x+2015)3f(x+2015)>(-3)3f(-3),
即g(x+2015)>g(-3),
∴0>x+2015>-3;
解得-2015>x>-2018,
∴该不等式的解集是为(-2018,-2015).
故答案为:(-2018,-2015).
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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