题目内容
【题目】从抛物线上任意一点
向
轴作垂线段垂足为
,点
是线段
上的一点,且满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设直线与轨迹
交于
两点,点
为轨迹
上异于
的任意一点,直线
分别与直线
交于
两点.问:
轴正半轴上是否存在定点使得以
为直径的圆过该定点?若存在,求出符合条件的定点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在定点
,理由详见解析.
【解析】
(1)设点,利用
关系,将
点坐标表示为
形式,代入抛物线方程,即可求解;
(2)将直线与轨迹
方程联立,消去
得到关于
的一元二次方程,由根与系数关系,建立
纵坐标关系,设
点坐标,求出直线
方程,进而求出
坐标,先求出
为原点时,
为直径的圆过
轴正半轴上定点,而后证明
为曲线
不同于
任意点时,判定该定点是否在以
为直径的圆上,即可求出结论.
(1)设,则
,
在抛物线
上,
为曲线
的方程;
(2)设,
联立,消去
,
,
直线的斜率为
,
直线方程为
,
令,
所以,同理
,
令中点
坐标为
,
,
以为直径的圆方程为
,
令或
(舍去)
当为坐标原点是以
为直径的圆过定点
,
当不过原点时
,
,
,
,以
为直径的圆过
点,
轴正半轴上存在定点
使得以
为直径的圆过该定点
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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时,
测得数据如下表(部分):
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当该产品中的新材料含量x为何值时,产品的性能指标值最大.