题目内容
【题目】如图,在正方体中.
(1)求证:平面平面
;
(2)试找出体对角线与平面
和平面
的交点
,并证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)先由平行四边形得线线平行,由线面平行判定定理再证得线面平行,找到两条相交线运用面面平行的判定定理证明结果.
(2)连接辅助线,由中点构造出三角形的中位线,这样证明得到线段相等,运用同样的方法来证明另外两条线段相等,即得证三条线段相等.
解析 (1)证明:因为在正方体中,
,
所以四边形是平行四边形,所以
.
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
同理平面
.又因为
,
平面
,
平面
,所以平面
平面
.
(2)如图,连接交
于点
,连接
与
交于点E.又因为
平面
,所以点E也在平面
内,所以点E就是
与平面
的交点;连接
交
于点O,连接
与
交于点F,则点F就是
与平面
的交点.
下面证明:
因为平面平面
,平面
平面
,
平面平面
,所以
.在
中,
是
的中点,所以E是
的中点,即
;同理可证
,所以F是
的中点,即
,所以
.
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